Quantitative
Research Methodik
Eine tiefgreifende Exploration unserer Forschungsmethodik: von der mathematischen Fundierung über statistische Validierung bis zur ingenieurtechnischen Implementierung quantitativer Handelsstrategien.
Stochastische Analysis
Itô-Kalkül & Martingaltheorie
- Itô-Integral: ∫₀ᵀ Xₜ dWₜ mit adaptierten Prozessen Xₜ ∈ L²(Ω×[0,T])
- Itô-Lemma: df(Xₜ) = f′(Xₜ)dXₜ + ½f″(Xₜ)d[X,X]ₜ
- Doob-Meyer-Zerlegung für Submartingale
- Girsanov-Theorem für äquivalente Martingalmaße
- Novikov-Bedingung für Exponenzialmartingale
Sprungprozesse & Lévy-Prozesse
- Lévy-Itô-Zerlegung: Xₜ = γt + σWₜ + Jₜ + Mₜ
- Lévy-Maß ν(dx) charakterisiert die Sprungintensität
- Variance-Gamma-Prozess als zeitdeformierte Brownsche Bewegung
- Kou-Modell: doppelt-exponentielle Sprungverteilung
- Charakteristische Funktion via Lévy-Khintchine-Formel
Malliavin-Kalkül
- Malliavin-Ableitung DₜF für Funktionale F ∈ D¹,²
- Skorohod-Integral als adjungierter Operator zu D
- Clark-Ocone-Formel: F = E[F] + ∫₀ᵀ E[DₜF|Fₜ] dWₜ
- Integration-by-Parts für Griechenberechnung
- Anwendung: Sensitivitätsanalyse von Optionspreisen
Nicht-parametrische Statistik
Kernel-Dichteschätzung
Bandbreitenselektion via Cross-Validation mit integriertem quadratischem Fehler (ISE). Adaptive Bandbreiten für Heavy-Tail-Verteilungen via Abramson-Methode. Boundary-Korrektur via Reflection-Methode für positiv-definite Variablen.
Empirische Likelihood
Nicht-parametrische Likelihood-Inferenz ohne Verteilungsannahmen. Owen-Theorem: −2 log R(θ₀) → χ²ₚ. Bartlett-Korrektur für verbesserte Konvergenz in kleinen Stichproben. Profile Empirical Likelihood für Konfidenzregionen.
Bootstrap-Methodologie
Block-Bootstrap (Moving Block, Circular Block) für abhängige Daten. Blocklängen-Selektion via Hall-Horowitz-Jing-Methode. Studentisiertes Bootstrap (Bootstrap-t) für verbesserte Coverage von Konfidenzintervallen. Double-Bootstrap für Kalibrierung.
Quantil-Regression
Schätzung konditionaler Quantile ohne parametrische Verteilungsannahmen. Koenker-Bassett-Optimierung via Interior-Point-Methoden. Nicht-kreuzende Quantilkurven via Dette-Volgushev-Bedingung. Inferenz via Inversion von Rang-Tests.
Monte-Carlo-Ansätze
Varianzreduktionstechniken
- Antithetic Variates: Ŷ = ½(f(X) + f(−X))
- Control Variates: Ŷ = f(X) + β(g(X) − E[g])
- Importance Sampling mit optimaler Dichte g*(x) ∝ |f(x)|π(x)
- Stratified Sampling via Latin-Hypercube-Design
- Quasi-Monte-Carlo via Sobol-Niederreiter-Folgen
Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)
- Metropolis-Hastings mit adaptiver Proposal-Verteilung
- Hamiltonian Monte Carlo (HMC) mit Leapfrog-Integrator
- No-U-Turn-Sampler (NUTS) für automatische Schrittweite
- Geweke-Konvergenzdiagnostik & Gelman-Rubin R̂-Statistik
- Parallel Tempering für multimodale Posterior-Verteilungen
Sequential Monte Carlo (SMC)
- Partikelfilter: Bootstrap-Filter von Gordon et al. (1993)
- Resampling: Systematic, Stratified, Residual
- Auxiliary Particle Filter (APF) nach Pitt & Shephard
- Liu-West-Filter für kombinierte Zustands- und Parameterschätzung
- Effective Sample Size (ESS) als Degenerationsindikator
Häufige Forschungsfragen
Interesse an Forschungskooperation?
Gastwissenschaftler-Programm · Joint Research Papers · Doktoranden-Betreuung · Industry-Academia-Partnerschaften.
Kontakt aufnehmen →